情報の図による表現の例に確率漸化式を素材に求めてみる
今の課程になって、期待値が出題不可になった。よって、確率の出題傾向も変化してくると思っていた。
私の予想は、条件付き確率の問題、特に原因の確率のタイプの問題が頻出になると思っていた。しかし、予想は外れた。原因の確率のタイプの問題はあまり出てこない。去年は確率漸化式の問題が続出したように見受けられた。
この確率漸化式は、情報の授業の素材として扱えると個人的には考えている。特に、問題の図による整理の部分である。社会と情報ですら図解による情報の整理は立派なテーマの一つである。
情報の時間であれば、この問題が解けるかどうかはあまり扱わなくて良い。よって、一番大切な「図による整理」の部分だけ時間をかけて扱えるのが良い点である。
特に、2年で情報をやる場合はこれが有効である。同時期に数列を履修しているので。
ここのところ毎年出している某京都の有名国立大学は今年も確率漸化式を出題した。今年の4の問題などは、情報の授業で扱うのに良い素材かもね、と思った。少し見ていってみる。
問題
問題を複素数平面でない形で書いておくと以下の通り。tは1以上の整数、みたいな細かいことはいちいち断らずに書く。
半径1上の正三角形の三頂点を点が動く。点1を偏角0の点、点2を偏角2/3\pi の点・点3を偏角4/3 \pi の点としておく。 t=1で点1にいる確率は1/2, Bにいる確率は1/2である。t>=2以降は次のルールに従う。
- t-1で点1にいた場合、点1に止まる確率と点2に行く確率はそれぞれ1/2。
- t-1で点2にいた場合、点2から点3にいく確率は1
- t-1で点3にいた場合、点1と点3にいく確率はそれぞれ1/2
（注 : 点Aとかとするのが普通だが、手書きの図を数字で書いてしまったのでそれに合わせる）
なお、元の形は移動のルールが複素数平面の形で書かれている。それを翻訳すると上記のようになる。
いきなり式は立てないですよね・・・
複素数平面の形が書かれている問題文を、上の形の問題文の理解に落とし込むことがまず必要である。そのときに規則性を把握するのに作った図が次の図である。
問題文を見ながら、下の図に自分は書き込んでいった（注 : 実際は手書きなので「表」などはひらがな。
実際の問題文では、コインが裏が出たときが共役を取る、となっている。共役を取った結果は点1・点2・点3ごとにそれぞれ色々と違う。この挙動の違いは、三角形を実際に見ながら考えないと混乱すると判断した。よって、まずは三角形を書いてそれに書き込んで考えていこう、ということで書いていったのがこの図である。
このまま式を立てても良いけど、普通の状態遷移図風に書き換えたほうが落ち着いて式が立てられるので、図を書き換えたものが次の図である。
確率1/2なので、確率は書き込まずに、この図のままで式を立てても大丈夫、というところでここから式を立てた。
後から駿台の解答速報を見たら、わりと図が似ていた。。。自分がやると、なぜか河合の解答でなく駿台の解答に似る傾向がある・・・（予備校などいけるレベルではありません。私は）
なお、河合は表で整理して解答を書いている。
河合の場合は、アイデアを導くための整理というよりかは「全ての場合をちゃんとつくして説明していますよ」的な論理的な説明を重視して表にしたのだと思う。
この2社の整理の仕方の違いでも、現行の社会と情報でも立派な授業の問になる。図と表の表現の違いは？メリット・デメリットは？などとやれば良い。
この手の問題ってモデル化の単元で扱うべき思考プロセスを扱えるのでは？
かちっとした文章でまとめられている要件を図や数式に落とし込むというのは、モデル化のプロセスの一種であると考えている。図にするだけで「図によるモデル」とかいう言い方で教科書でも扱われている。
理想的な形で、この問題を情報の授業で扱えるなら次のプロセスを踏むことになると思う。
- 図に落とし込む
- 数式に落とし込む
- 手で解かせる
- 計算機でシミュレーションさせて手の結果と整合的になることを確認させる
- シミュレーションの様子をグラフィカルに見せる（この場合であれば、三角形上で点を動かしている絵を作るなど）
- 問題条件を変えて解く（手では難しい場合が多いので計算機で）
パブコメで出ている指導要領でも、手で解かせたものと計算機で解かせたものの比較はしろといっている。なので、手で解かせること自体に何も問題はない。
この問題の場合、問題条件を変えると手では解き難くなるはずである。この問題を手で解くときは、対称性を利用している（逆にそれに気づけますか？という問題でもある。図を描いていたら、向かっている線の様子で対称性に気付きやすくなる）。よって、計算機のほうが簡単に問題条件を変えて色々と試しやすいはずである。
数式処理ソフトで行列のn乗を使って解かせてみるのも面白いと思う。
地に足をついた素材で普通の人は授業をしたい
数理モデルの扱いについては、情報ワーキングが過激も、それを反映したパブコメ版の指導要領もやや過激なような気がする。ここまで過激にやられると、もはや一般人は全部無視でやるぞ、と居直られても仕方がないような気がする。
超ハイパーな指導力とゆとりがないとあれやるのは無理ですよと最近思う。この視点で、いくつか問題に関連して思うことを述べておく。
現象からモデル化の部分はハードルが高すぎる
現状、物理以外で（そして物理ですらパターン暗記）、モデルというものそのものをいじっているという実感のある生徒はほとんどいないと思う。
その状況で、情報の授業では、現実の要件をこの問題文の形に落とし込む部分から始めていこうとしているように見える（現状の情報の科学などの教科書も見ながら考えると）。しかし、そんなのは無理でしょう？と思う。
モデルを触っているという実感の無い人に、何の参考情報もなし（情報の教科書は基本的にそういうスタンス）モデルを一から作らせるということは、まんじゅうを食べたことのない人に、誰も考えたことのないオリジナルまんじゅうの作り方を考えろといっているものだと思う。
だいたい、ほぼモデル化の初期の作業が済んだこの問題文から、この図に落とし込めるレベルの生徒ですら、どれぐらいいるかわからない（自称でない進学校を除いて）。現実を見ようよと言いたい。
不自然に身近や社会に題材を求めても
問題解決では「現実の問題を扱って興味を引き出す」「身近で考えやすい問題を扱って興味を引き出す」とやたらにいっている。そういって、これ高校生からは浮世離れしてるよな、という問題を扱っているのをよく見かける（ように私は感じる）。
高校生にとっての現実の問題は、まさに目の前にある受験である。それに関連させて、情報科が扱うべき項目を扱って何が悪いと個人的には言いたい。
歴史的経緯はわかっている。情報未履修問題のときに、適当に他の教科に振り替えられた思い出があるので、そういうことはさせたくないという思いが強くなるのもわかる。しかし、もうそろそろそういのはね・・・
受験科目の教材研究の蓄積・教材の質の高さは生かしたい
受験関連の教材は質が高い。こういった、問題文の状況の整理の良い例をみたければ、受験参考書などの場合の数・確率の本を見れば良い。受験参考書の場合の数・確率の本は、図の描き方の実践集みたいなものだと思っている。
受験系の参考書のもう一つのメリットは、訓練系の問題が大量に用意されていることである。これは、授業をするほうからするとありがたい。一般人に能力を身につけさせるには、やはり一定の演習量は必要となる。このとき、一個人で問題を大量に作るというのは難しい。質の高い演習問題が揃っている教材が使えるなら使いたい。
個人的には、（ある程度の偏差値以上の）入試レベルの数学の「解く前の問題の整理」は情報のモデル化で求められているものとかなり重なっている。そして、情報で開発されている教材よりまともなものが多いと思う。
こういう題材を、情報で展開するときは、以下の点がポイントだと思っている。
- 情報科の身につけさせたい資質の部分をうまく取り出す（情報系の技術書などをみながら考える）
- 一般人向けにマイルドにする
